El guayabo (Psidium guajava L.), es uno de los frutales más conocidos, que se cultiva ampliamente en más de 60 países, de las regiones tropicales y subtropicales del mundo ¹

. Se incluye en el género Psidium que agrupa alrededor de 150 especies de árboles y arbustos, de las cuales sólo 20 producen frutos comestibles ².

La demanda y expansión del cultivo del guayabo se ha desarrollado por la necesidad de obtener cultivares, con frutos de buena calidad y larga duración, resistentes a enfermedades y con alto contenido de nutrientes ³. La selección de genotipos promisorios y la propuesta de nuevos cultivares requiere de la evaluación de caracteres de interés agrícola, que presentan herencia cuantitativa y tienen un efecto ambiental negativo. Muchos de estos caracteres están asociados con otros, por lo que la selección de un carácter puede afectar a otros de manera positiva o negativa ⁴. Por esta razón, es importante determinar las correlaciones entre caracteres de interés para el mejoramiento, las cuales pueden originarse por ligamiento de genes o pleiotropía ⁵.

Cuando los caracteres están correlacionados, el criterio de selección que considera una sola variable, puede no generar una ganancia genética satisfactoria para todos los caracteres evaluados ⁵. Los análisis de correlación son factibles para determinar las relaciones mutuas entre varios caracteres y sugieren la ventaja de un esquema de selección para más de un carácter a la vez ¹. Sin embargo, la magnitud y el valor de los coeficientes de correlación no es suficiente para aclarar las relaciones entre los caracteres, debido a que no existe una relación causa-efecto entre ellos ⁶.

La correlación canónica es un método de análisis multivariado utilizado para examinar la relación entre dos grupos de caracteres ⁷. Este análisis permite agrupar caracteres de interés, de forma tal que la determinación de las asociaciones entre los grupos posibilite la selección indirecta de caracteres ⁴, por lo que brinda informaciones valiosas para la selección de ideotipos en programas de mejoramiento ⁸. En esta técnica, los estimados de correlación se realizan entre combinaciones lineales de los dos grupos de caracteres, denominadas variables canónicas. La correlación entre los correspondientes pares de variables canónicas se define como correlación canónica ⁹

En agronomía, el análisis canónico se ha utilizado para estimar la asociación entre dos grupos diferentes de caracteres; por ejemplo, entre caracteres morfológicos y bioquímicos; caracteres vegetativos y componentes del rendimiento; caracteres agronómicos y de calidades de las semillas; caracteres fisiológicos y morfológicos, entre otros. Estos estudios se han realizado en diversos cultivos como el pimiento rojo (Capsicum annuum L.) ¹⁰, el trigo (Triticum aestivum L.) ^8,9,11, el maíz (Zea mays L.) ^12,13, la soya (Glycine max L.) ¹⁴, pero han sido poco utilizados en los frutales.

En todos los estudios previamente mencionados, el análisis canónico se realizó con los valores fenotípicos de los caracteres. Algunos autores han planteado que resulta más efectivo realizarlo con los valores genéticos predichos ⁶. Los valores genéticos se pueden predecir por medio de la metodología de los modelos mixtos (REML-BLUP, procedimientos de máxima verosimilitud restringida-mejor lineal insesgado), los cuales proveen inferencias más precisas y exactas ^6,15. Estos autores emplearon el análisis de correlación canónica, para determinar la asociación entre caracteres vegetativos y componentes del rendimiento en familias de hermanos completos de guayabo, basados en los valores genéticos predichos.

Basado en los elementos anteriormente expuestos, el presente trabajo tiene como objetivo evaluar la asociación entre caracteres vegetativos y del fruto, en familias de hermanos completos de guayabo, mediante el cálculo de las correlaciones canónicas.

Con la realización de los procedimientos MIXED se obtuvieron los BLUP, que constituyen los predictores de los valores genéticos (Breeding value). Estos valores genéticos fueron utilizados para determinar la asociación entre caracteres vegetativos (altura de la planta, largo y ancho de la hoja) y del fruto (espesor externo e interno de la pulpa, número y masa total de las semillas por fruto, masa, largo y ancho del fruto), a partir del análisis de correlación canónica. Este análisis es un caso especial de modelo lineal general que está basado en la matriz de correlación de todos los caracteres evaluados ²⁵. Su objetivo es buscar las relaciones que puedan existir entre dos grupos de caracteres y la validez de las mismas ⁶.

Se observó, que al tener en cuenta todos valores obtenidos en las tres familias para cada carácter, se logró el ajuste a la distribución normal para cada uno de ellos.

En la Tabla 1, se muestran los valores de los coeficientes de correlación entre los diez caracteres evaluados, con su significación estadística. La mayoría de los caracteres del fruto mostraron correlaciones significativas y positivas entre ellos, con excepción del largo del fruto, con el espesor interno de la pulpa y el número de semillas y el espesor externo de la pulpa con el número de semillas, en los cuales se obtuvieron coeficientes negativos. Entre los caracteres vegetativos se observó sólo una correlación positiva y significativa entre el largo y el ancho de la hoja. Este último carácter está correlacionado positivamente con todos los del fruto, con excepción del largo. La altura de la planta no se asoció con ninguno de los caracteres evaluados en las tres familias de guayabo.

Las mayores correlaciones se observaron entre la masa y el ancho del fruto (0,8866), la masa del fruto y el espesor externo de la pulpa (0,7445) y el número y la masa total de las semillas por fruto (0,7049) (Tabla 1). Los altos valores de los coeficientes de correlación pueden ser resultado del efecto del pleiotropismo, en el cual un mismo gen afecta la expresión de más de un carácter ²⁶. Esta información es útil para el fitomejoramiento, porque favorece la selección simultánea de dos o más caracteres, al seleccionar uno solo de ellos.

Resultados similares fueron obtenidos al estimar las correlaciones genéticas en las mismas familias de guayabo, pero por el método de covarianza progenie-progenitor ²⁷ en el cual se deben calcular las covarianzas progenie-progenitor de cada carácter y las covarianzas cruzadas entre dos caracteres. En otro estudio realizado se estimaron las correlaciones genéticas entre caracteres asociados al rendimiento en líneas de maíz (Zea mays L.) ²⁸, por medio de un método manual que utiliza la fórmula propuesta por otros autores ²⁶ y por la máxima verosimilitud restringida, a través de un procedimiento MIXED, en el cual se especificó la opción GCORR para que se calcularan las correlaciones genéticas. Estos autores también encontraron resultados equivalentes por los dos métodos, al comparar las correlaciones genéticas obtenidas por ambos métodos, con el empleo de una prueba t de Student de muestras pareadas y no encontrar diferencias significativas. Este resultado les permitió llegar a la conclusión de que las correlaciones genéticas pueden ser estimadas por medio del PROC MIXED que es más simple y rápido de hacer ²⁸.

En una evaluación de caracteres del fruto y componentes del rendimiento en familias de hermanos completos de guayabo, se obtuvieron bajos valores de los coeficientes de correlación genética ⁵. Estos resultados son similares a los obtenidos en el presente trabajo en los coeficientes calculados entre caracteres vegetativos y del fruto. Los autores plantearon, a partir de los resultados, que la selección de esos caracteres se va a realizar sin tener una respuesta correlacionada.

Es posible obtener ganancias con respuestas correlacionadas en los caracteres que muestran asociaciones positivas y significativas. La existencia de asociación genética positiva entre dos caracteres implica que los cambios en uno de ellos pueden provocar alteraciones en el otro ⁴. Como todas las correlaciones fueron positivas con la masa del fruto, el ancho del fruto y la masa total de las semillas, la selección simultánea puede promover ganancia en la masa de los frutos y la masa de las semillas, de forma más eficiente ²⁹, pues según lo planteado, cuando se seleccionan los caracteres que contribuyen positivamente con un carácter de interés, se hace un uso más efectivo de la correlación ²⁶.

Los estudios de correlación entre diferentes caracteres de la planta y del fruto, en genotipos de guayabo, pueden proveer una idea, de cuáles caracteres podrían ser utilizados para la selección de parámetros deseables en futuros programas de mejoramiento del cultivo. Las correlaciones positivas y significativas entre caracteres de interés, son favorables para el mejorador, porque pueden ayudar en el mejoramiento simultáneo de ambos caracteres. Por otra parte, la correlación negativa pudiera solapar la expresión sincronizada de ambos caracteres ³⁰.

El conocimiento de las correlaciones genéticas puede ser muy útil en el mejoramiento, para la selección de caracteres con baja heredabilidad y dificultades en su medición, porque bajo estas condiciones, se puede llevar a cabo la selección indirecta de los mismos; es por ello, que deben ser estimadas las correlaciones genéticas en los programas de mejora ⁴.

Como se obtuvieron bajos valores de los coeficientes de correlación genética entre caracteres vegetativos y del fruto, no son indicadores importantes unos de los otros, o sea, no se pueden utilizar para realizar la selección de más de un carácter. Además, las correlaciones entre pares de caracteres son más difíciles de explicar simultáneamente ^10,21. Por esta razón, se estimaron tres coeficientes de correlación canónica para explicar la interrelación existente entre los dos grupos de caracteres, pues el número de correlaciones canónicas que se necesitan interpretar, es igual al menor número de caracteres en los grupos ^21,25, que en este estudio se corresponde con el grupo de las variables vegetativas.

En la Tabla 2 se muestran los resultados obtenidos al realizar el análisis canónico entre los dos grupos de caracteres. Sólo el primer par de variables o funciones canónicas (U_1,V₁) mostró una correlación canónica significativa (p=0,001) entre los caracteres vegetativos y los del fruto, con relación a la prueba de razón de verosimilitud. En esta primera función canónica, que es la más importante porque explica el mayor porcentaje de la varianza del conjunto de variables e indica la máxima correlación entre los dos grupos de caracteres, se obtuvo un valor del coeficiente de correlación de 0,3282. Este valor representa la mayor correlación posible entre cualquier combinación lineal de los caracteres vegetativos y cualquier combinación lineal de los caracteres del fruto ²¹ y puede ser interpretado como la correlación simple entre la sumatoria ponderada o combinación lineal de los valores en cada grupo de caracteres, con la ponderación perteneciente a la primera función canónica ²⁵

En otros estudios también se ha obtenido solamente un valor de correlación canónica significativo, en la primera función canónica. Por ejemplo, al relacionar caracteres morfológicos y productivos en familias de medios hermanos de Jatropha curcas L. ³¹, entre caracteres agronómicos y de calidad fisiológica de la semilla en poblaciones segregantes de soya ¹⁴ y al asociar variables morfológicas y de la germinación en semillas de cultivares de trigo ³².

La segunda (U₂V₂) y la tercera (U₃V₃) funciones canónicas van a explicar el mayor porcentaje de la varianza que deja la primera función canónica, o sea, la varianza residual o restante de las primeras funciones. Además, las correlaciones canónicas disminuyen a medida que se calculan funciones adicionales; es decir la primera función refleja la mayor correlación entre los dos grupos, la siguiente la segunda correlación y así sucesivamente ²¹.

La prueba de significación de las funciones canónicas utiliza una aproximación de la prueba F para determinar la significación de la Lambda de Wilks, que es igual a la prueba de razón de verosimilitud ²¹. Esta prueba se utiliza para evaluar si las variables de un grupo están correlacionadas con las del otro grupo. Para ello se prueba, de manera secuencial, si todas las funciones canónicas son significativas o no ²⁵. Primero se observa las tres funciones canónicas juntas y se evalúa si las tres correlaciones canónicas son cero; si se rechaza la hipótesis nula (p<0,05), se pasa a evaluar la segunda y la tercera correlaciones ²¹. Para determinar la significación estadística de las otras dos funciones, se elimina la primera función, que es la más significativa y si la segunda prueba es también significativa, se puede proceder sólo con la tercera, para determinar si la función remanente es también significativa ²⁵. Si sólo la primera función canónica es estadísticamente significativa, como en el presente trabajo, es la única que debe ser interpretada.

Aunque las variables canónicas son artificiales, estas pueden ser identificadas en términos de las variables originales. Para ello, se pueden interpretar los coeficientes canónicos estandarizados para cada grupo de caracteres en las tres funciones o variables canónicas (U₁V₁, U₂V₂ y U₃V₃), así como, las correlaciones entre las variables canónicas y las variables originales, las cuales se muestran en las Tablas 3 y 4, respectivamente. Los coeficientes canónicos se estandarizan para permitir su interpretación, porque las variables originales no tienen que tener varianzas homogéneas, ni estar medidas en la misma unidad ²¹. Las magnitudes de los coeficientes canónicos indican las contribuciones relativas de cada variable en la combinación lineal canónica ²⁵; o sea, los coeficientes indican los efectos de los caracteres vegetativos sobre los del fruto en los genotipos de guayabo.

Al observar los valores obtenidos para los coeficientes estandarizados (Tabla 3), en la primera función que es la única significativa, se puede decir que, si aumentan los valores de ancho de la hoja y altura de la planta, se van a incrementar el ancho del fruto, el espesor externo de la pulpa y el número de semillas y van a disminuir el espesor interno de la pulpa, la masa total de las semillas, la masa y el largo del fruto. Los caracteres que más contribuyeron a la primera variable canónica (V₁) entre los del fruto fueron: el ancho del fruto (1,0750) y el número de semillas (0,7803), mientras que el ancho de la hoja (1,2832) fue el de mayor contribución a la primera variable canónica de los vegetativos (U₁). Estos tres caracteres mostraron correlaciones genéticas positivas y significativas entre ellos y con la mayoría de los restantes caracteres del fruto (Tabla 1). Los restantes caracteres vegetativos y del fruto tuvieron un menor aporte al primer par de variables canónicas U₁,V₁.

Las proporciones de varianza extraídas en los dos grupos y los valores de redundancia se muestran en la Tabla 4. Los valores de proporción de varianza extraída y redundancia, indican la magnitud de las correlaciones totales entre los dos grupos de variables, relativa a la varianza de las variables originales. Son diferentes del valor de correlación canónica cuadrada, porque este último estadístico expresa la proporción de la varianza explicada en las variables canónicas ²⁵.

La primera variable canónica extrajo, como promedio, un 38,77 % de la varianza de los caracteres vegetativos y un 29,20 % de los caracteres del fruto, valores que pueden considerarse bajos. Las tres funciones canónicas juntas extrajeron el 100 % de la varianza del grupo de caracteres vegetativos y el 50,59 % de la varianza de los caracteres del fruto. Si se observan los valores de redundancia, con los caracteres del fruto se puede explicar solo el 4,46 % de la varianza en los caracteres vegetativos, basado en la primera función canónica; mientras que con los caracteres vegetativos se explica el 4,40 % de la variabilidad en los caracteres del fruto (Tabla 4).

Los coeficientes de redundancia se utilizan para medir la capacidad predictiva de un conjunto de caracteres respecto al otro ³³. Los resultados indican que existe una débil asociación entre los caracteres vegetativos y del fruto, por lo que no se puede predecir el comportamiento de los genotipos de guayabo en los caracteres del fruto, a partir de los valores de los caracteres vegetativos y viceversa. Este resultado confirma el obtenido previamente, al estimar las correlaciones genéticas entre todos los caracteres y obtener bajos valores de los coeficientes de correlación entre caracteres vegetativos y caracteres del fruto.

Se puede concluir entonces, que existe una débil correlación entre los caracteres vegetativos y los caracteres del fruto evaluados en las tres familias de hermanos completos de guayabo, por lo que la selección de determinados caracteres vegetativos no va a implicar que lleve consigo la de los caracteres del fruto y viceversa. Resultados similares fueron obtenidos en progenies de hermanos completos de guayabo en Brasil ⁶. Estos autores, al utilizar el análisis de correlación canónica, determinaron que los valores del coeficiente de correlación para las funciones canónicas fueron bajos y que existía poca correlación genética entre caracteres vegetativos y componentes del rendimiento.

Los coeficientes canónicos son importantes a considerar en las decisiones que se toman en las etapas de selección de individuos superiores, en los programas de mejora, para caracteres de interés, cuando se consideran dos grupos diferentes de caracteres ⁶. El conocimiento del grado de asociación, a través de estudios de correlación, puede identificar caracteres que pueden ser usados como criterios de selección indirecta para el rendimiento o como caracteres secundarios, lo cual mejora la eficiencia de los procesos de selección ³⁴. Varias medidas de correlación bivariadas y multivariadas pueden ser utilizadas para determinar las relaciones entre variables; sin embargo, los coeficientes de correlación bivariados pueden fallar en determinar relaciones complejas. Los modelos multivariados pueden ser apropiados para asegurar las relaciones entre un gran número de variables. El análisis de correlación canónica puede ser utilizado para determinar relaciones entre múltiples variables dependientes e independientes; por tanto, es más exitoso para estimar relaciones complejas en las ciencias biológicas ⁹.

Guava (Psidium guajava L.), is one of the best known fruit trees, which is widely cultivated in more than 60 countries, in the tropical and subtropical regions of the world ¹. It is included in the genus Psidium that groups around 150 species of trees and shrubs, of which only 20 produce edible fruits ².

The demand and expansion of the guava crop has been developed by the need to obtain cultivars, with good quality and long-lasting fruits, resistant to diseases and with high nutrient content ³. The selection of promising genotypes and the proposal of new cultivars requires the evaluation of characters of agricultural interest, which have quantitative inheritance and have a negative environmental effect. Many of these characters are associated with others, so the selection of one character can affect others positively or negatively ⁴. For this reason, it is important to determine the correlations between characters of interest for improvement, which can be caused by gene linkage or pleiotropy ⁵.

When the characters are correlated, the selection criterion that considers a single variable may not generate a satisfactory genetic gain for all the evaluated characters ⁵. Correlation analyzes are feasible to determine the mutual relationships between several characters and suggest the advantage of a selection scheme for more than one character at a time ¹. However, the magnitude and value of the correlation coefficients is not sufficient to clarify the relationships between the characters, because there is no cause-effect relationship between them ⁶.

Canonical correlation is a multivariate analysis method used to examine the relationship between two groups of characters ⁷. This analysis allows grouping of characters of interest, in such a way that the determination of associations between the groups makes it possible to indirectly select characters ⁴, thus providing valuable information for the selection of ideotypes in breeding programs ⁸. In this technique, correlation estimates are made between linear combinations of the two groups of characters, called canonical variables. The correlation between the corresponding pairs of canonical variables is defined as canonical correlation ⁹.

In agronomy, canonical analysis has been used to estimate the association between two different groups of characters; for example, between morphological and biochemical characters; vegetative characters and performance components; agronomic and seed quality characters; physiological and morphological characters, among others. These studies have been carried out in various crops such as red pepper (Capsicum annuum L.) ¹⁰, wheat (Triticum aestivum L.) ^8,9,11, corn (Zea mays L.) ^12,13, soy (Glycine max L.) ¹⁴, but they have been little used in fruit trees.

In all the previously mentioned studies, the canonical analysis was performed with the phenotypic values of the characters. Some authors have suggested that it is more effective to perform it with the predicted genetic values ⁶. Genetic values can be predicted through the methodology of mixed models (REML-BLUP, procedures of maximum restricted likelihood-best linear unbiased), which provide more precise and exact inferences ^6,15. These authors used the canonical correlation analysis to determine the association between vegetative characters and yield components in families of complete guava siblings, based on the predicted genetic values.

Based on the elements described above, this paper aims to evaluate the association between vegetative and fruit characters in families of complete siblings of guava, by calculating canonical correlations.

With the completion of the MIXED procedures, the BLUPs were obtained, which constitute the predictors of the genetic values (Breeding value). These genetic values were used to determine the association between vegetative characters (height of the plant, length and width of the leaf) and of the fruit (external and internal thickness of the pulp, number and total mass of the seeds by fruit, mass, length and fruit width), based on the canonical correlation analysis. This analysis is a special case of a general linear model that is based on the correlation matrix of all the evaluated characters ²⁵. Its objective is to look for the relationships that may exist between two groups of characters and their validity ⁶.

It was observed that, taking into account all values obtained in the three families for each character, the adjustment to the normal distribution for each of them was achieved.

Table 1 shows the values of the correlation coefficients among the ten characters evaluated, with their statistical significance. Most of the fruit's characters showed significant and positive correlations between them, with the exception of the length of the fruit, with the internal thickness of the pulp and the number of seeds and the external thickness of the pulp with the number of seeds, in which negative coefficients were obtained. Among the vegetative characters, only a positive and significant correlation was observed between the length and width of the leaf. This last character is positively correlated with all of the fruit, with the exception of the length. Plant height was not associated with any of the characters evaluated in the three guava families.

The greatest correlations were observed between the mass and width of the fruit (0.8866), the mass of the fruit and the external thickness of the pulp (0.7445) and the number and total mass of the seeds per fruit (0, 7049) (Table 1). The high values of the correlation coefficients can be the result of the pleiotropism effect, in which the same gene affects the expression of more than one character ²⁶. This information is useful for plant breeding, because it favors the simultaneous selection of two or more characters, by selecting only one of them.

Similar results were obtained by estimating the genetic correlations in the same guava families, but by the progeny-parent covariance method ²⁷, in which the progenie-progenitor covariance of each character and the covariance between two characters must be calculated. In another study, the genetic correlations between characteristics associated with the yield in maize lines (Zea mays L.) ²⁸ were estimated, using a manual method that uses the formula proposed by other authors ²⁶ and the maximum likelihood restricted, through a MIXED procedure, in which the GCORR option was specified for genetic correlations to be calculated. These authors also found equivalent results by the two methods, when comparing the genetic correlations obtained by both methods, with the use of a Student's t-test of paired samples and finding no significant differences. This result allowed them to conclude that genetic correlations can be estimated through the PROC MIXED that is simpler and quicker to do ²⁸.

In an evaluation of fruit characters and yield components in families of complete guava siblings, low values of the genetic correlation coefficients were obtained ⁵. These results are similar to those obtained in the present work in the coefficients calculated between vegetative and fruit characters. The authors stated, based on the results, that the selection of these characters will be carried out without having a correlated response.

It is possible to make a profit with correlated answers in the characters that show positive and significant associations. The existence of a positive genetic association between two characters implies that changes in one of them can cause alterations in the other ⁴. Since all correlations were positive with the mass of the fruit, the width of the fruit and the total mass of the seeds, simultaneous selection can promote gain in the mass of the fruits and the mass of the seeds, more efficiently ²⁹, as stated, when the characters that contribute positively with a character of interest are selected, a more effective use of the correlation is made ²⁶.

The correlation studies between different characters of the plant and the fruit, in guava genotypes, can provide an idea of which characters could be used for the selection of desirable parameters in future crop improvement programs. The positive and significant correlations between characters of interest are favorable for the improver, because they can help in the simultaneous improvement of both characters. On the other hand, the negative correlation could overlap the synchronized expression of both characters ³⁰.

The knowledge of the genetic correlations can be very useful in the improvement, for the selection of characters with low heritability and difficulties in their measurement, because under these conditions, the indirect selection of them can be carried out; That is why genetic correlations must be estimated in improvement programs ⁴.

As low values of the genetic correlation coefficients between vegetative and fruit characters were obtained, they are not important indicators of each other, that is, they cannot be used to make the selection of more than one character. In addition, correlations between pairs of characters are more difficult to explain simultaneously ^10,21. For this reason, three canonical correlation coefficients were estimated to explain the interrelationship between the two groups of characters, since the number of canonical correlations that need to be interpreted is equal to the lower number of characters in the groups ^21,25, that in this study corresponds to the group of vegetative variables.

Table 2 shows the results obtained when performing the canonical analysis between the two groups of characters. Only the first pair of canonical variables or functions (U₁, V₁) showed a significant canonical correlation (p=0.001) between the vegetative and fruit characters, in relation to the likelihood ratio test. In this first canonical function, which is the most important because it explains the highest percentage of the variance of the set of variables and indicates the maximum correlation between the two groups of characters, a correlation coefficient value of 0.3282 was obtained. This value represents the greatest possible correlation between any linear combination of the vegetative characters and any linear combination of the fruit characters ²¹ and can be interpreted as the simple correlation between the weighted summation or linear combination of the values in each character group , with the weighting belonging to the first canonical function ²⁵.

Other studies have also obtained only a significant canonical correlation value, in the first canonical function. For example, when relating morphological and productive characters in families of half-brothers of Jatropha curcas L. ³¹, between agronomic and physiological quality characters of the seed in segregating soy populations ¹⁴ and when associating morphological and germination variables in wheat cultivar seeds ³².

The second (U₂V₂) and the third (U₃V₃) canonical functions will explain the highest percentage of the variance left by the first canonical function, that is, the residual or remaining variance of the first functions. In addition, canonical correlations decrease as additional functions are calculated; that is, the first function reflects the greater correlation between the two groups, the following the second correlation and so on ²¹.

The canonical functions significance test uses an approximation of the F test to determine the significance of the Wilks Lambda, which is equal to the likelihood ratio test ²¹. This test is used to assess whether the variables of one group are correlated with those of the other group. This is done, sequentially, if all the canonical functions are significant or not ²⁵. First, the three canonical functions are observed together and it is evaluated whether the three canonical correlations are zero; If the null hypothesis is rejected (p<0.05), the second and third correlations are evaluated ²¹. In order to determine the statistical significance of the other two functions, the first function, which is the most significant one, is eliminated and if the second test is also significant, it is possible to proceed only with the third one, to determine if the remaining function is also significant ²⁵. If only the first canonical function is statistically significant, as in the present work, it is the only one that must be interpreted.

Although the canonical variables are artificial, they can be identified in terms of the original variables. For this, the standardized canonical coefficients for each group of characters can be interpreted in the three functions or canonical variables (U₁V₁, U₂V₂ and U₃V₃), as well as, the correlations between the canonical variables and the original variables, which are shown in the Tables 3 and 4, respectively. The canonical coefficients are standardized to allow their interpretation, because the original variables do not have to have homogeneous variances, nor be measured in the same unit ²¹. The magnitudes of the canonical coefficients indicate the relative contributions of each variable in the canonical linear combination ²⁵; that is, the coefficients indicate the effects of vegetative characters on those of the fruit in guava genotypes.

When observing the values obtained for the standardized coefficients (Table 3), in the first function that is the only one significant, it can be said that, if the values of leaf width and plant height increase, the width will increase of the fruit, the external thickness of the pulp and the number of seeds and will decrease the internal thickness of the pulp, the total mass of the seeds, the mass and the length of the fruit. The characters that contributed most to the first canonical variable (V₁) among those of the fruit were: the width of the fruit (1.0750) and the number of seeds (0.7803), while the width of the leaf (1.2832) was the one with the greatest contribution to the first canonical variable of the vegetative (U₁). These three characters showed positive and significant genetic correlations between them and with the majority of the remaining fruit characters (Table 1). The remaining vegetative and fruit characters had a lower contribution to the first pair of canonical variables U₁, V₁.

The proportions of variance extracted in the two groups and the redundancy values are shown in Table 4. The values of proportion of variance extracted and redundancy indicate the magnitude of the total correlations between the two groups of variables, relative to the variance of the original variables. They are different from the square canonical correlation value, because the latter statistic expresses the proportion of the variance explained in the canonical variables ²⁵.

The first canonical variable extracted, on average, 38.77 % of the variance of the vegetative characters and 29.20 % of the fruit characters, values that can be considered low. The three canonical functions together extracted 100 % of the variance of the group of vegetative characters and 50.59 % of the variance of the fruit characters. If the redundancy values are observed, with the fruit characters only 4.46 % of the variance in the vegetative characters can be explained, based on the first canonical function; while with the vegetative characters, 4.40 % of the variability in the fruit's characters is explained (Table 4).

Redundancy coefficients are used to measure the predictive capacity of one set of characters with respect to the other ³³. The results indicate that there is a weak association between the vegetative and fruit characters, so the behavior of the guava genotypes in the fruit characters cannot be predicted, based on the values of the vegetative characters and vice versa. This result confirms the one obtained previously, when estimating the genetic correlations between all the characters and obtaining low values of the correlation coefficients between vegetative characters and fruit characters.

It can be concluded then, that there is a weak correlation between the vegetative characters and the fruit characters evaluated in the three families of siblings full of guava, so the selection of certain vegetative characters will not imply that it carries that of the characters of the fruit and vice versa. Similar results were obtained in progenies of complete guava brothers in Brazil ⁶. These authors, when using the canonical correlation analysis, determined that the correlation coefficient values for the canonical functions were low and that there was little genetic correlation between vegetative characters and yield components.

The canonical coefficients are important to consider in the decisions that are made in the stages of selection of superior individuals, in the improvement programs, for characters of interest, when two different groups of characters are considered ⁶. The knowledge of the degree of association, through correlation studies, can identify characters that can be used as indirect selection criteria for performance or as secondary characters, which improves the efficiency of the selection processes ³⁴. Several bivariate and multivariate correlation measures can be used to determine the relationships between variables; however, bivariate correlation coefficients may fail to determine complex relationships. Multivariate models may be appropriate to ensure relationships between a large number of variables. Canonical correlation analysis can be used to determine relationships between multiple dependent and independent variables; therefore, it is more successful to estimate complex relationships in the biological sciences ⁹.